Diferencial de una función

Paco Villegas

Sea $f\,:\, D\,\longrightarrow\,\mathbb{R}$ una función derivable en su dominio. La recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $a$ es la funcíon afín de expresión:

$$g(x)=f(a)+f'(a)\cdot(x-a)$$

Consideremos la función ``incremental'':

$$\overline{BC}=\Delta g(a,\, h)=g(a+h)-g(a)$$

Si tenemos en cuenta que: $\left\{ \begin{array}{c} g(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot(a+h-a)=f(a)+f'(a)\cdot h\\ g(a)=f(a)\end{array}\right.$ obtenemos que:

$$\overline{BC}=\Delta g(a,\, h)=g(a+h)-g(a)=f(a)+f'(a)\cdot h-f(a)=f'(a)\cdot h$$

Es decir, se obtiene una función de dos variables¹ cuya expresión es:

$$\Delta g(a,\, h)=f'(a)\cdot h$$ (1)

Si llamamos: $\left\{ \begin{array}{c} \Delta g(a,\, h)=dy\\ h=dx\end{array}\right.$ se obtiene la expresión² $dy\,=\, f'(a)\cdot dx$

Como muestra de que es una función que depende de dos variables:

En el gráfico anterior está representada la diferencial de la función $f(x)=x^{2}$, que saldría $dy=2x\cdot h$.

Para terminar, si fijamos $a,$ se obtiene que la diferencial de una función es una recta que pasa por el origen de coordenadas (función lineal). Así, si retomamos nuestro ejemplo, para $h_{1}$< $h_{2}$ obtendríamos como valores de la diferencial en el punto $a$ las longitudes de los segmentos marcados.

O sea:

$$\left\{ \begin{array}{c} dy(a,\, h_{1})=g(a+h_{1})-g(a)=\ove... ...)-g(a)=\overline{C_{2}B_{2}}=f'(a)\cdot h_{2}\end{array}\right.$$

Footnotes

... variables¹

Depende de $a$ y $h$

... expresión²

Notar que lo correcto sería escribir $dy_{a}(h)$ o $dy(a,\, h)$.