El muelle oscilante se caracteriza por la constante elática D, la masa m y la constante de atenuación G. (G es una medida de la fuerza de fricción cuando se supone que ésta es proporcional a la velocidad.)
El muelle se excita mediante un movimiento hacia arriba y abajo de su extremo superior, según la fórmula y_E   =   A_E cos (wt). En ella, y_E representa el desplazamiento de la excitación respecto a la posición media; A_E es la amplitud de oscilación de la excitación, siendo w la frecuencia angular y t el tiempo.

Se trata de encontrar el valor del desplazamiento del resonador (respecto a su posición media), y, en el instante t. Haciendo w₀   =   (D/m)^1/2, el problema queda descrito por la siguiente ecuación diferencial:

y''(t)   =   w02 (AE cos (wt) - y(t))   -   G y'(t) Condiciones iniciales:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Al resolver esta ecuación diferencial, hay que distinguir varios casos:

Caso 1: G < 2 w0

Caso 1.1: G < 2 w0; G ¹ 0 o w ¹ w0

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^-Gt/2 [A₁ sin (w₁t) + B₁ cos (w₁t)]
w₁   =   (w₀² - G²/4)^1/2
A_abs   =   A_E w₀² G w / [(w₀² - w²)² + G² w²]
A_el   =   A_E w₀² (w₀² - w²) / [(w₀² - w²)² + G² w²]
A₁   =   - (A_abs w + (G/2) A_el) / w₁
B₁   =   - A_el

Caso 1.2: G < 2 w0; G = 0 y w = w0

y(t)   =   (A_E w t / 2) sin (wt)

Caso 2: G = 2 w0

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^-Gt/2 (A₁ t + B₁)
A_abs   =   A_E w₀² G w / (w₀² + w²)²
A_el   =   A_E w₀² (w₀² - w²) / (w₀² + w²)²
A₁   =   - (A_abs w + (G/2) A_el)
B₁   =   - A_el

Caso 3: G > 2 w0

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^-Gt/2 [A₁ sinh (w₁t) + B₁ cosh (w₁t)]
w₁   =   (G²/4 - w₀²)^1/2
A_abs   =   A_E w₀² G w / [(w₀² - w²)² + G² w²]
A_el   =   A_E w₀² (w₀² - w²) / [(w₀² - w²)² + G² w²]
A₁   =   - (A_abs w + (G/2) A_el) / w₁
B₁   =   - A_el

URL: http://home.a-city.de/walter.fendt/phs/resmath_s.htm
© Walter Fendt, 9 Septiembre 1998
© Traducción: Juan Muñoz, 9 Marzo 1999
Última modificación: 11 Enero 2000

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